Root Locus (tempat kedudukan akar) merupakan suatu analisis dalam keilmuan control engineering yang menggambarkan pergeseran letak pole-pole suatu sistem loop tertutup dari peerubahan besarnya penguatan loop terbuka dengan gain adjustment. Analisis ini digunakan sebagai salah satu dasar untuk mendesain suatu sistem kendali sesuai dengan karakteristik dan spesifikasi yang diinginkan. Analisis root locus ini dapat menentukan apakah suatu system stabil atau tidak. Selain itu dapat menentukan besarnya rentang penguatan loop terbuka agar suatu system masih dapat dikatakan stabil (tetapi tidak bisa menstabilkan suatu system tidak stabil secara utuh menjadi system yang stabil). Plot kurva root locus berada pada bidang-s (domain frekuensi).
Sifat-sifat dan beberapa catatan mengenai root locus :
- Root locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu nyata
- Root locus bermula dari pole-pole G(s)H(s) untuk penguatan (K) sama dengan nol dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) untuk K∞ (termasuk zero-zero pada titik tak hingga)
- Spesifikasi transien dapat diatur dengan mengatur nilai K untuk mendapatkan respon waktu yang diinginkan. Mengubah bentuk root locus berarti mengubah respon transien (biasanya dengan kompensasi fasa maju yang mengakibatkan adanya efek penambahan zero)
- Keakuratan system dapat diperbesar dengan menambahkan pole di origin bidang-s yang berarti menambah tipe system yang mengakibatkan konstanta galat tak hingga dan galat dapat menjadi nol. Hal ini dapat pula diimplementasikan dengan kompensasi fasa mundur (memperbesar gain tanpa mengubah kurva root locus)
Artikel ini akan membahas bagaimana cara mendapatkan kurva root locus dengan perhitungan manual. System yang dibahas disini menggunakan
feedback negative.
Prosedur untuk mendapatkan kurva root locus :
- Menentukan open loop transfer function (OLTF) dan meletakkan pole-pole dan zero-zeronya pada bidang-s
- Menentukan interval terdapatnya root locus pada sumbu nyata. Bila interval daerah sumbu real mempunyai jumlah pole dan atau zero di sebelah kanannya bernilai ganjil, maka daerah tersebut terdapat root locus
- Menentukan jumlah asimtot, sudut asimtot, dan perpotongan asimtot dengan sumbu real
- Menentukan titik pencar dan temu pole-pole (break away point dan break in point)
- Menentukan titik potong kurva root locus dengan sumbu imajiner (jika ada)
- Menentukan sudut datang (untuk zero) dan sudut berangkat (untuk pole)
- Sketsa root locus dari data-data yang telah didapatkan
Untuk mempermudah diberikan suatu contoh kasus, dengan fungsi alih loop terbuka:
G(s)H(s) = num / den
Dengan num = 10K dan denum = s(s^2 + 8s + 25) ; K = konstanta penguatan
Penyelesaian,
Letak pole-pole adalah s1 = 0, s2 = -4 + j3, s3 =-4 – j3 dan zero tidak ada. gambar range daerah root locus pada sumbu real :
Jumlah asimtot = n – m ;dengan n = jmlh pole dan m = jmlh zero= 3
Sudut asimtot = [180 (2k+1)] / n-m ; dengan k = 0, 1, 2= 60, 180, 300 (derajat) –> dari sumbu real berlawanan jarum jam
Perpotongan asimtot dengan sumbu real : σ = [(jml letak pole) – (jml letak zero)] / n-m
= [(0 – 4 – 4) – (0)] / 3 = -8/3
Sketsa Asimtot
Titik potong kurva root locus dengan sumbu realstrong>
–> dapat dicari dari persamaan karakteristiknya.
Persamaan karakteristik system : 1 + G(s)H(s) = 0, berarti 1 + [ 10k / (s{s^2 + 8s + 25}) ] = 0, sehingga k = [- s^3 – 8s^2 – 25 s] / 10
Titik potong kurva root locus didapat dengan mendifferensiasikan fungsi ‘k’ terhadap ‘s’, sehingga didapat S1 = (-8/3) + j (11/9)1/2 dan s2 = (-8/3) – j (/9)1/2 . Jika kita perhatikan, perpotongan kurva root locus dengan sumbu real tidak mungkin pada titik akar-akar yang didapat, karena akar-akar yang didapat complex (punya bagian imajiner). Jika akar yang didapat hanya mengandung bagian real saja (tanpa imajiner) maka pada akar tersebut terjadi perpotongan kurva root locus dengan sumbu real, baik break-in point atau break-away point. Pada kasus akar complex seperti ini, akar yang didapat adalah titik dimana root locus berubah arah, baik dari kebawah menjadi keatas maupun keatas menjadi kebawah (nilai ekstrim). Titik tersebut disimbolkan dengan ‘P’ dan ‘Q ‘ pada kurva root locus yang diperoleh dari MATLAB pada gambar selanjutnya
.
Titik potong root locus dengan sumbu imajiner
–> dapat diperoleh dari deret R-H seperti analisis kestabilan
Persamaan karakteristik system : s^3 + 8s^2 + 25s + 10K = 0, deret R-H nya :
S^3 | 1 25
S^2 | 8 10K
S^1 | (200-10k)/8
S^0 | 10K
Dari deret R-H diatas, untuk mendapatkan titik potong dengan sumbu imajiner, pada baris S^1, (200-10K)/8 disamadengan-kan dengan nol. Hal ini untuk mengambil batas antara stabil atau tidaknya system (berada ditengah bidang-s / tepat pada sumbu imajiner).
(200 – 10K) / 8 = 0 sehingga K = 20
Nilai K ini di substitusikan lagi ke persamaan karakteristik system sehingga didapat akar
(s^2 + 25 ) = 0 berarti s1 = j5 dan s2 = -j5
Titik diatas adalah titik dimana root locus memotong sumbu imajiner.
Menentukan sudut berangkat pole (angle of departure)
Pada kasus ini hanya ada sudut berangkat, tidak ada sudut dating karena tida mempunyai zero, yang ada hanya pole saja. Sudut berangkat dapat ditentukan dengan rumus :
180 – (jumlah sudut pole dengan pole lainnya) + (jumlah sudut pole dengan zero)
Jumlah sudut pole (yang diukur) dengan pole lainnya dan jumlah sudut pole terhadap zero diukur dari sumbu-x.
Sehingga untuk pole-2 (lihat gambar) :
Sudut berangkat = 180 – 90 – 143 = -53 (derajat)
Untuk pole-3 (lihat gambar) :
Sudut berangkat = 180 – (-90) + (-217) = 53 (derajat)
ini menggunakan pendekatan : sin 370 = 0,6 dan sin 530 = 0,8
Dari data-data yang telah didapatkan, dilakukan plot secara manual. Hasil plot secara manual tersebut dapat dikoreksi kebenarannya dengan menggunakan software MATLAB. Listing code MATLAB-nya dan gambar kurva root locus yang benar adalah sebagai berikut :
grafik kurva rot locus :
Warna biru adalah tempat letak pole-1 seiring kenaikan gain
Warna hijau adalah tempat letak pole-2 seiring kenaikan gain
Warna merah adalah tempat letak pole-3 seiring kenaikan gain
Sistem stabil pada nilai K < 20